华杯赛历届真题集：第八届华杯赛决赛一试试题及解答

毛毛的夏天

第八届华杯赛决赛一试试题及解答

　  1．计算：

　　2．李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车?汽车速度是步行速度的几倍?

　　3.如右图，p—ABC是一个四面体，各棱互不相等。现用红、黄两种颜色将四面染色，规则如下：

　　1)首先将p，A，B，C染成红、黄二色之一；

　　2)在一个面的三角形中，若两个或三个顶点同色，则将这个面染成这种颜色。

　　问有多少种不同的染法?(两个染好了的四面体，四个对应面的颜色相同，则认为是同—种染法，不计四个顶点的颜色是否相同)

　　4．如下图，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米。求三角形ADE的面积。

　　5.求l—2001的所有自然数中，有多少个整数x使 与 被7除余数相同?

　　6．12个小朋友每人一件编号为1，2，3…12的行李包，各自用号牌取行李。行李按编号顺序排成一列，小朋友随意排成一列，但只有当未取走行李中编号最小的行李才能被取走，否则取行李的小朋友要排到队尾去(取到行李的小朋友不再排队)，而验—个号需要一分钟，四点开始验号牌，3号行李在4：33被取走，8号行李在4：40被取走。问拿1，2，3和8号牌的小朋友最初的排队次序各是第几名?

参考答案及解析：

　　1．

.

　　2．李经理在7点27分30秒遇上汽车；汽车速度是步行速度的11倍.（华杯赛网上所给相遇时间的答案7.25是错误的）

　　3．共有8种不同染法.

　　4．三角形的ADE的面积是69.

　　5．共有574个数.

　　6．拿1、2、3号和8号小朋友最初的排队顺序是第12，第11，第10和第7.

　  1．解：原式＝

＝

＝

.

　　2．解：如图，设A为公司，B为李经理家，C为相遇点．李经理早到5分钟，是由于汽车少跑了两段BC的路程，所以汽车跑一段BC用2.5分钟，汽车由A到C的时间为7点30分－2.5分＝7点27.5分，即7点27分30秒．这也是李经理与汽车相遇的时间，因此，李经理由B到C用了27.5分钟，从而，汽车的速度是步行速度的27.5÷2.5＝11（倍）．

　　3．如果有三个顶点染成同一种颜色，则不管第四点染成何色，这时四个面同色，故此时有同红或同黄两种染法.此外，只有两个红点两个黄点一种可能，此时必为两红面、两黄面，设底面为红，另一红面可能为三个不同侧面之一，即有三种可能；同理，底面为黄面，也有三种可能.所以共有2＋3×2＝8种染法.

　　4．解：作EH⊥AD，交AD的延长线于H，作DG⊥BC，交BC于G，

　　∵∠EDH＋∠HDC＝90°，∠CDG＋∠HDC＝90°

　　∴∠EDH＝∠CDG

　　又ED＝DC

　　∴△EDH≌△DCG，∴EH＝CG＝ （BC－AD）＝6（厘米）

　　所以，△ADE的面积为： ×AD×EH＝ ×23×6＝69（平方厘米）

　　5．解：首先看 ÷7的余数、 ÷7的余数与x的关系：

　　x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

　　÷7的余数 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1

　　÷7的余数 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0

　　可见， ÷7的余数3个一循环， ÷7的余数7个一循环，所以，3和7的最小公倍数为21，2001÷21＝95…6，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有95×6＋4＝574（个）.

　　为什么会出现余数的循环呢？下面我们来证明（1） ÷7与 ÷7同余，（2） ÷7与 ÷7同余.

　　（1） ÷7＝ ×8÷7＝ ×（7＋1）÷7＝ ＋ ÷7，从而 ÷7与 ÷7同余.

　　（2） ÷7＝ ÷7＝ ÷7＋2 ＋7，从而 ÷7与 ÷7同余.

　　6．解：3号取走行李时共验了33个行李，此前取走了1号和2号，即1、2、3号的位置和为33，只有10＋11＋12＝33，且1号排在第12位，2号排在第11位，3号排在第10位，才能经33次验号，拿3号牌的小朋友取走行李.40－33＝7，说明又经7次验号，4、5、6、7、8号便取走了行李，剩下的是9、10、11、12号4名小朋友.此时不可能再出现4、5、6、7、8号从新到队尾排队的情况，所以拿4、5、6、7号均顺次排在8号前，8号的小朋友应排在第7位 (中间插了两个大于8号的小朋友) 。

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顶顶更健康，越顶吃的越香。  

陈佰强

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