简易逻辑不简易——几个常用的逻辑用语赏析

镇远将军 · 发表于 2012-4-8 11:58:56

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北宋大诗人梅尧臣(圣瑜)在《续金针诗格》有一段关于诗歌的话：“诗有内外意，内意欲尽其理，外意欲尽其象。内外意含蓄，方入诗格”。

　　这里的“理”是“内意”，是一个抽象的概念;“象”是“外意”是象征，其最大的用途就是以具体的事物来代替抽象的概念。象征可以免除抽象与空泛带来的弊病，象征的定义可以说是“寓理于象”。比如“要想尽一切办法把经济搞上去”，这句话的“理”是要搞好经济，但是很空泛，不好把握。而“不管黑猫还是白猫，逮住老鼠就是好猫。”则是用猫捉老鼠来比喻抓经济，就把抽象的概念翻译为了具体的意象，形象生动，通俗易懂。

　　梅先生的话虽然是写诗的，却也是数学欣赏的至理名言。

　　数学概念也有内外意两方面。一方面数学概念极其抽象，属内意范畴;另一方面，数学概念来源于现实生活，是对现实生活的高度抽象，应该从外意上去理解。一般的数学学习只要知其内意，即对概念理解深刻并能够用来解题就可以了。若要进行欣赏，还须能表其外象，这不仅要深刻理解数学概念的内意，还要知道概念产生的背景、过程，然后再产生由此及彼，由表及里的联想，然后才有形象贴切的比喻。

　　下面我们以几个常用的逻辑用语为例。

　　1. 从大笑到无语，欣赏反证法的妙用

　　数学教育与语文教育最大的区别就在于有没有欣赏的内涵。“语文教学，旨在认识和欣赏人生的真善美;数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美”(文1)。比如李白的《把酒问月》中有两句诗：

　　今人不见古时月，今月曾经照古人。

　　今月古月实为一个，而今人古人则不断更迭。说“今人不见古时月”，亦意味“古人不见今时月”;说“今月曾经照古人”，亦意味“古月依然照今人”。这二句造语备极重复、错综、回环之美，且有互文之妙。诗情哲理并茂，读来意味深长。(王夫之《唐诗评选》)。

　　“形式化表达的数学，犹如曲折表达的诗词，其背后掩蔽着的思想方法和文化底蕴，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生有所领悟”。(文1)

　　下面是笔者上课的一个片段：

　　刚刚讲完常用逻辑用语，准备上一节习题课.笔者刚刚上课，一个学生迟到了，他低着头走进教室.

　　师：“这位同学你不仅迟到，而且来晚!”全班人大笑，迟到者也禁不住笑了.

　　“你们笑什么?”

　　“数学老师不讲逻辑!”学生们边笑边说.

　　“是吗?昨天作业的填空题第3小题，有的同学把答案写成

，怎么解释?”

　　全班顿时无语.

　　“迟到”、“来晚”是同一个概念，迟到肯定是来晚了，来晚了必然是迟到的。“不仅”、“而且”是递进关系，同一个概念用递进关系表示，是不讲逻辑的，数学老师说出这样没有逻辑的话，反差很大，所以学生大笑。为什么后来学生又集体无语了呢？这里用了反证法，假设正确，那么“不仅迟到而且来晚”也正确。

　　数学运用符号，具有形式之美。数学因为使用符号，显示其纯粹之真。象“ ”类似的问题，学生经常出现，很不好纠正，甚至教材中也有类似的表示。如何有效地说明，这里借助反证法，以其人之道还治其人之身，不仅风趣幽默，而且也启迪无限，别有一番情趣。

　　2.从充要条件的内外意欣赏充要条件“善”

　　充分条件、必要条件的内意和数学的直接联系的就是判定定理和性质定理.要判定一个东西是什么，在什么条件下这个事物是另一个事物，实际上用到的是充分条件.必要条件的重要性，是数学中的性质定理.判定定理是判定一个事物是另一个事物，性质定理是区别两个不同的事物.语文王老师戴眼镜，数学张老师不戴眼镜，那么，王老师和张老师的差异只要用戴眼镜就可以区分.戴眼镜的是王老师，不戴眼镜的是张老师，戴眼镜只是王老师的一个性质，不戴眼镜只是张老师的一个性质.

　　再来看看这句“不管黑猫还是白猫，捉住老鼠就是好猫”。要想成为好猫必须能捉住老鼠，但是能捉老鼠的猫不一定是好猫，也就是说会捉老鼠是成为好猫的必要条件。很多人认为能捉住老鼠是成为好猫的充分且必要条件，这是错误的，甚至是有害的。

　　充要条件则是更重要的一个数学思想，它的内意是等价.认识一个数学事物，常常需要从不同的角度去认识，这在数学学习中至关重要.比如数学中的垂直关系是很重要的一个关系，我们可以有三个角度来描述.一个是几何的角度，两个直线垂直，就是两个直线所呈的夹角是90° ，这是几何上的语言.还有解析几何的角度.当两条直线的斜率都存在的时候，这两个直线垂直，我们可以用解析几何中的斜率来描述，即两个直线斜率的乘积等于-1.第三个是向量的角度，因为向量可以刻画直线的方向，这两个方向满足什么条件是相互垂直的，用向量的语言说就是，这两条直线的方向向量数量积为0.在这三个条件同时存在的时候，两直线所成角为90°与斜率乘积等于-1，与方向向量的数量积为0是互为充要条件的，这样就形成了对于垂直关系一个多角度的认识.这里我们以“垂直”为“象”，揭示的是充要条件的核心内容.

　　3.从“不管黑猫还是白猫”欣赏量词的使用

　　正确理解和使用量词是非常重要的.首先是我们日常生活中最常用的一个逻辑用语.我篮子里的每个鸡蛋都是好的.这个事实不正确是什么意思?只要篮子里有一个鸡蛋是坏的.有位同学说我们班上有某个同学身高超过1.90m不正确是什么意思?我们班上每一个同学身高都不超过1.90m。这些在我们日常生活中是非常多见的，也是非常重要的.这个观念理解得清楚，认识得清楚，对提高我们思维会有帮助.再比如“不管黑猫还是白猫”是一个全称量词，这里要表达的意思是用人不问出身，不问学历，只看能力。量词的这样使用，简洁有力，极大地解放了人们的思想。

　　量词在日常生活中很重要，在数学里也是极其重要的.函数的单调性定义：对于函数

定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值

，当

时，有

，那么就说函数

在区间D上是增函数.这里用到一个全称量词“任意”。函数最大值的定义连续用了两个量词“存在”和“任意”：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的

都有

;(2)存在

，使得

.我们就称M是函数的最大值(文2).而数学上极限概念的刻画则连续用了三个量词.

　　全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.这些在数学理解上也很重要.如函数

在定义域上不具有单调性怎么向学生解释?因为单调函数的定义是全称命题，所以只需要找它的特称命题就可以了.

　　抽象的概念在艺术家的脑海里都要先翻译成具体的意象，然后才表现于作品。就像我们这样理解、应用量词，理解这些用语远比形式的去理解 A 可以推出 B ， B 也可以推出 A 要重要得多.

　　4. 简易逻辑不简易

　　一般说来，经过几年的数学学习，学生可以获得一定的逻辑训练，但大都是缘于对数学内容本身的解释，而对其中的逻辑成分解释很少.在没有逻辑成分的情况下，学生学习推理是不自觉地使用了逻辑法则，有时还会发生逻辑错误.

　　否定命题常常出错。例如张三有四门功课优秀。否定命题往往错为“张三四门功课都不优秀。量词介入后否定命题更为复杂：“2010年每个月都有10天下雨”，否定就不大容易。

　　例写出原命题“若

则

”的否定形式.

　　这是在一次单元测试中的一道题.

　　全年级一千多人，绝大多数人的答案是若，则

.有几个人的答案是：存在

，使得.到底哪个对呢?

　　老师们经过集体研究认为，正确答案应该是：存在，使得. 因为命题的否定形式是否定结论，原命题假，其否定形式一定真，本题原命题是个假命题，“若，则”也是一个假命题，于是可以判断肯定“若，则” 不是其否定形式.进一步解释，本题可以理解为是全称命题，即对任意实数a,b，若则. 至此，问题圆满解决.

　　上述问题的否定形式“存在，使得”是对的，但是分析过程是错误的。原因如下：

　　p真，则

假;p假，则真.这个结论对简单命题成立.但是这道题是复合命题，对于复合命题的否定就不可以了。比如 “张三是上海人”，其否定命题“张三不是上海人”, 二者有且只有一个正确.“若张三在上海生活，那么张三是北京人” 以及“张三在上海生活，那么张三不是北京人”，两个论断都不对。

　　原命题是用“若……则……”把p、q联结起来的新命题，叫假言命题.记作

，读作p蕴含q.两个简单命题p,q之间存在着蕴涵关系，即‘p蕴涵q’，或‘如果p那么q’.其意义是‘如果p不是假的，则q是真的’或‘或者p是假的，或者q是真的’.这就是逻辑上所称的“实质蕴涵”，符号是 “?/SPAN>”，不是“

”.

　　“

”与“”含义不同. 只有当为真时，是实质蕴涵，才可以表示成pq.

　　本例的两个命题之间没有蕴涵关系，即前者推不出后者.

　　对于蕴含命题或假言推理的否定,要注意它们是否是省略了量词的简化形式,若是省略了量词,应先将命题写成完整形式,再依据法则写出其否定形式.

　　“曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子。叶子出水很高，像亭亭的舞女的裙。层层的叶子中间，零星地点缀着些白花，有袅娜地开着的，有羞涩地打着朵儿的;正如一粒粒的明珠，又如碧天里的星星，又如刚出浴的美人”。这是朱自清的散文《荷塘月色》中的句子，当我们欣赏几个常用逻辑用语的时候，就宛如行走在曲曲折折的荷塘边上，欣赏着如明珠如星星如刚出浴的美人一般的荷花，它们有袅娜地开着的，还有羞涩地打着朵儿的。在数学的大荷塘里面，在弥望的田田的叶子中间，亭亭玉立。