平面及其基本性质

lina

教学内容：学习公理一、二、三，引申出公理的三个推论

教学目标：

1.结合问题与实例，让学生直观感知，认识平面的基本性质（三个公理）

2.引导学生学习使用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理

3.组织学生动手操作，理解公理的三个推论

4.通过对平面基本性质的学习，让学生认识我们所处的世界是一个三维空间，培养学生的辩证唯物主义世界观

教学重点：结合问题实例，认识平面的基本性质（三个公理）

教学难点：正确应用符号语言，公理的基础应用

教学辅助：多媒体课件，学生准备的纸板、小棍，课堂教学学案

教学形式：启发式教学、学生小组探究活动等

第一部分    教学过程设计

一、复习巩固，引入新课

（一）在上一节课，我们初步认识了空间中的各类位置关系．从平面几何发展到立体几何，位置关系变得更加丰富起来，其中一个重要的原因，就是源于在空间中，除了点、线这样的基本要素外，还增加了一个新的要素——平面．

（二）上节课中，我们也学习了平面的概念、图形及表示方法，请同学们完成以下的练习题：

【课堂练习】

1．说一说——数学中的“平面”概念具有哪些基本特征？

2．画一画——

（1）我们通常怎样画一个水平放置的平面图形？用怎样的数学符号来表示？

（2）如果一个平面被另一个平面挡住了，一般用虚线体现图形的立体感，请把右图中被挡住的部分用虚线表现出来使之呈现立体感．

3．填一填——把下图中呈现的位置关系用符号语言表示出来：

（1）， ．

（2），．

（3），．

（4）直线与直线相交于点，表示为__________；直线与平面相交于点，表示为_________．

（在学生完成练习的基础上，教师作简要评讲，做好新课学习的准备）

（三）为了对空间中的位置关系进行更深入的研究，我们需要对平面这一新要素进行必要的研究与总结，这就是本节课的主要任务——认识平面的基本性质．（板书课题）

二、新课学习

平面的基本性质是学习研究立体几何的基础，人们经过长期的观察与实践，把它们总结为几个公理，并由此出发建立了立体几何的知识体系．下面来认识一下这几条性质．

（一）公理一的学习

提供背景材料1：（1）如果直线与平面有一个公共点，那么直线是否在平面内？

（2）如果直线与平面有两个公共点呢？

（3）请用实例说明你的判断．

在学生理解的基础上，归纳：

【公理一】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．（文字语言）

教师引导学生解决以下几个知识点：

1．图形语言

通常画成上图的形象

2．符号语言的提炼

（或者写成）

3．介绍其作用：

（1）判定直线是否在平面内       （2）判定点在面内

教师指出：公理1说明了平面与曲面的本质区别，通过直线的“直”来刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”，它既可以判断直线（点）在平面内，也为我们验证平面提供了方法依据．

（二）公理二的学习

提供背景材料2：（1）生活中的现象1——三脚架支撑相机和平板仪的三脚架

（2）生活中的现象2——自行车只需要一个撑脚就可以放稳

（3）这样的现象反映了平面的什么性质？你能举出类似的其它实例吗？

在学生理解的基础上，归纳：

【公理二】过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．（文字语言）

教师引导学生解决以下几个知识点：

1．“有且只有一个”的理解——“有”，是指对象的存在性

  “只有一个”，是指对象的唯一性

2．图形语言

通常画成上图的形象

3．符号语言的提炼（教师指出：符号语言不是万能的，有时也需要文字语言予以辅助）

4．介绍其作用

（1）确定平面的依据     （2）证明两个平面重合

教师指出：公理二的主要作用是为我们提供了确定一个平面的依据，而如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面必然是重合的．

（三）公理三的学习

提供背景材料3：（1）把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否

只有一个公共点？

（2）如果有其它公共点，它们和这个公共点有什么样的关系呢？

（3）你能找到某个实例来说明你的判断吗？

在学生理解的基础上，归纳：

【公理三】如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．（文字语言）

教师引导学生解决以下几个知识点：

1．图形语言

通常可画成上图的形象

2．符号语言的提炼

3．介绍其作用

（1）确定平面的交点的位置         （2）判定点在直线上

教师指出：公理三描述了平面相交的特征，即两个平面的公共点构成一条直线，这为我们提供了研究两个平面的交线的方法．

三、延伸思考，操作确认

1．以上我们学习了平面的三个公理，它们是研究空间图形的重要基础，要认真理解掌握．

2．公理二的延伸思考（关于三个推论的初步认识）

教师引导：将公理二的条件稍作变换，我们还可以探究出一些新的命题，请同学们继续思考下面的这些问题，相互交流一下你的认识，总结你的结论：

（1）把连成直线，则条件变成了“已知一条直线和直线外的一点”，请问：这样能否确定一个平面呢？你能否举出实例说明之？

（2）再将也连成直线，则条件变成了“已知两条相交直线”，请问：这样能否确定一个平面呢？你能否举出实例说明之？

（3）注意到平面中两条直线还可能是平行关系，若转化为平行线背景，则条件变为“已知二平行直线”，请问：这样能否确定一个平面呢？你能否举出实例说明之？

（组织学生分小组讨论以上问题，请学生代表交流小组讨论的结果，说明自己找到的实例）

教师在此基础上指出：以上三个问题的结论都是肯定的，我们把它们作为公理的三个推论，以丰富我们确定平面的依据．即

推论1——经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面

推论2——经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3——经过两条平行直线，有且只有一个平面

既然叫做公理的推论，那么这些命题就是可以应用公理来证明的，请同学们课后作进一步的思考研究：你能应用今天所学习的公理证明上述三个确定平面的依据吗？

四、本课小结与作业布置

（一）本课小结：

1．平面的三个公理及基础应用      2．公理的三个推论（待证明）

（二）作业布置：

1．课后训练：教材P51习题A组1、2、5、7   B组2

2．课后交流：思考并相互交流：公理的三个推论应该怎样证明？

五、关于教学设计的若干说明

1．本节课主体内容为必修2第二章第一节——平面，教材在进入平面的基本性质之前，对平面的概念、图形及表示方法、符号语言的应用作了介绍．考虑到平面的基本性质（三个公理及推论）是一个整体，因此把平面的概念等知识的教学进行了前移，本节课教学内容重点放在三个公理的学习上．

2．本节课在复习引入阶段设计了的三个练习题，侧重于训练学生使用数学语言的基本功，为新课学习做好必要的准备．

3．三个公理的教学序列是统一的，即“认识背景材料——归纳公理——学习图形语言和符号语言——总结公理的作用——初步应用公理解决问题”．其中，三个公理的符号语言表述对于学生来说，是有一定难度的．

4．前三个探究问题的素材均来源于课本，目的是希望学生重视课本的使用，而另一层面的想法是希望学生能结合生活实际，找出更多的实例来说明自己的直观判断，以此引导学生体会到学习立体几何的过程中要多联系实际的要求．

5．学生分组活动探究环节设计在公理的三个推论的分析与归纳上，不要求学生进行严格的演绎证明，而是希望学生能够通过直观感知、操作确认的方式认识之，同时期望学生能够应用公理对推论的合理性作出一定的说明．

6．课后练习中增加了“课后交流”的作业，可以鼓励学生尽量去完成之，体验这个过程比知道答案来讲，前者更加重要．

7．新教材的理念如何体现在教师教学和学生的学习活动中，这对于我而言，是一个很大的挑战．因此，这节课的设计是否合理，能否达到预期效果，还需要实践的检验，更需要得到各位专家和老师们的指导，谢谢！

（树德中学外国语校区高2010级数学组    陈杰）

第二部分    “平面”课堂教学学案

一、复习巩固

【课堂练习】

1．说一说——数学中的“平面”概念具有哪些基本特征？

2．画一画——

（1）我们通常怎样画一个水平放置的平面图形？用怎样的数学符号来表示？

（2）如果一个平面被另一个平面挡住了，一般用虚线体现图形的立体感，请把右图中被挡住的部分用虚线表现出来使之呈现立体感．

3．填一填——把下图中呈现的位置关系用符号语言表示出来：

（1）， ．

（2），．

（3），．

（4）直线与直线相交于点，表示为__________；

直线与平面相交于点，表示为_________．

二、认识平面的基本性质

【探究问题一】（1）如果直线与平面有一个公共点，那么直线是否在平面内？

（2）如果直线与平面有两个公共点呢？

（3）请用实例说明你的判断．

以上经验和事实可以归纳为：

【公理一】____________________________________________________________．

1．图形语言：                2．符号语言：                3．作用：

【探究问题二】（1）观察生活中的现象1——三脚架支撑相机或平板仪

（2）观察生活中的现象2——自行车只加一只撑脚就可以放稳

（3）这样的现象反映了什么性质？你能举出类似的其它实例吗？

以上经验和事实可以归纳为：

【公理二】__________________________________________________________________

1．“有且只有一个”的理解——“有”，是指对象的存在性

                      “只有一个”，是指对象的唯一性

2．图形语言：          3．符号语言：                  4．作用：

【探究问题三】（1）把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否

只有一个公共点？

（2）如果有其它公共点，它们和这个公共点有什么样的关系呢？

（3）你能找到某个实例来说明你的判断吗？

以上经验和事实可以归纳为：

【公理三】

______________________________________________________________________

1．图形语言：                2．符号语言：                 3．作用：

三、延伸思考

【探究问题四】——公理二的延伸思考

（1）把连成直线，则条件变成了“已知一条直线和直线外的一点”，这样能否确定一个平面呢？你能否举出实例说明之？

（2）再将连成直线，则条件变成了“已知两条相交直线”，这样能否确定一个平面呢？你能否举出实例说明之？

（3）注意到平面中两条直线还可能是平行关系，若转化为平行线背景，则条件变为“已知二平行直线”，这样能否确定一个平面呢？你能否举出实例说明之？

（分小组讨论以上问题，请小组代表上台交流小组讨论的结果，并说明自己找到的实例）

四、本课小结与作业布置

（一）小结——本节课主要学习了哪些知识？

（二）作业——

1．课后训练：教材P51习题A组1、2、5、7   B组2

2．课后交流：你能应用公理来证明三个推论吗？