孙子定理

lina

在“《孙子定理》诌议”（2011-12-08人教网）一文中，笔者给出用“被除数=除数×不定商+余数”的形式表述《孙子定理》。得到广大读者的关注和肯定。笔者在本文中就该定理的证明再谈点拙见。不当之处，请同仁们批评指教。

《孙子定理》简述如下：

设m1,m2,…,mk为两两互质的正整数；b1,b2,…,bk是任意整数；得方程组：

                                              （1）

记；, （i=1,2,…,k）

令Fi满足，（i=1,2,…,k）                                   （2）

，（0<r<M）                                                （3）

则方程组（1）的解x=r+nM，(n取任意整数)。

证明：事实上，只要用任一mj(j=1,2,…,k)去除特解r，其余数是bj就行了。为此，把（3）式化为：

    （4）

下面证明（2）式的正确性。把（2）式化为： （5）

因为m1,m2,…,mk两两互质，可知Mi与mi也互质。故（5）式等号右端的值就是等号左端Mi与mi的最大公约数。由两数最大公约数的性质可知存在Fi和qi满足（5）式，故（2）式正确。

在（2）式中，当i取j时得，此式各项同乘bj得：

    （6）

另一方面，设，（i=1,2,…,j-1,j+1,…,k），则

          （7）

在中，i取j得，则：

             （8）

把（6）（7）（8）式代入（4）式得：

设，由已知条件可知A是个整数；把A代入上式得，此式充分说明特解r被mj去除余数是bj。

在等号两边各加nM，得：

显然A+nMj是个整数，这就说明通解r+nM被mj除，余数是bj，定理证毕

大湖之子

感謝樓主  

因帅被判刑

这个孙子应该不是孙武吧！