将一个数分解为几个数之和，使之乘积最大

西门大官人

这是一道经典，又是容易犯错的题目。因为涉及到神秘的e，所以给这道题也增加了几分新鲜感。原题是这样的：有几个数之和为19，问这几个数的最大乘积为多少？这里是限制在正实数范围内。当然，这里的19可以是代替为任何数。不过不管是什么数，都有下面统一的答案：

      当每一个数都相等，且每一个数都非常接近于e的时候，其乘积最大。

      对于19而言，将之分解成7份的时候，每一个数19/7离e(2.71828……)最接近，也就是这几个数的最大乘积为(19/7)7.对于这个答案的证明，需要一点导数知识，不过都是非常基础的。利用均值不等式，可以知道当每一个数都相等的时候，才具有最大值，所以实际上就是将这个数均分，假设分成n份，那么他们的乘积就是：(k/n)n.其中k为这几个数的和，为一常量。利用导数知识，可以算出其极值点。

      

      由此便有了答案，其中的k/n就是分解出的每一个数，不过当我们在均分的时候，k/n就不一定能取到e了，因为此时的n限制在了正整数的范围，根据f(n)的单调性，当每一个数最接近于e的时候，其乘积最大。

      比如把12分解成几个正数之和，当每一个数都等于3的时候，他们的乘积最大，我们也可以通过简单的验证来检验。又比如3，不用分解，就他一个数的乘积最大。这个问题属于一道非常常见的题目，不过往往很多人犯一些错误，最容易犯错的地方就是将“正实数”随意拓展为“一切实数”。实际上就拿19来说，一个简单的验证就知道“一切实数”内是可以到达任何大的。

      1019+(-500)+(-500)=19，显然此三数的乘积远比(19/7)7大得多。

      文章来源：学夫子数学博客

dinggela

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梁上好汉

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