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标题: 神奇的斐波纳契数列 [打印本页]
作者: 梦泉森林 时间: 2012-5-19 09:19
标题: 神奇的斐波纳契数列
本帖最后由 梦泉森林 于 2012-5-19 09:56 编辑
神奇的斐波纳契数列
大家一定不陌生这样一道题:按规律填空,1,1,2,3,5,8,( )
这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,叫做斐波纳契数列(Fibonacci Sequence),又称黄金分割数列。这个数列从第三项可是,每一项都等于前两项之和。递推的方法为:F0=0,F1=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)。在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用。
一、斐波纳契数列与黄金分割的关系
有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割1.618.
1÷1=1,2÷1=2,3÷2=1.5,5÷3=1.666...,8÷5=1.6,…………,89÷55=1.6181818…,…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面,这些比值越接近黄金比.
二、奇妙的属性
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e(可以推出更多),黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。
随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通)。
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯,对他的地毯匠朋友说:“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异,因为两者之间面积相差达一平方英尺呢!可是魔术师竟达到了他的目的!
这真是不可思议的事!亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢?
实际上后来缝成的地毯有条细缝,面积刚好就是一平方英尺。
三、在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
将杨辉三角依次下降,成如图所示排列,将同一行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……
四、斐波那契数列的整除性
每3个数有且只有一个被2整除,
每4个数有且只有一个被3整除,
每5个数有且只有一个被5整除,
每6个数有且只有一个被8整除,
每7个数有且只有一个被13整除,
每8个数有且只有一个被21整除,
每9个数有且只有一个被34整除,
.......
五、斐波那契数与植物花瓣(自然界中的巧合)
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那些叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
六、相关的数学问题
1.排列组合 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法……
1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法。
2.兔子繁殖问题(关于斐波那契数列的别名)
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。
一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:
第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对
两个月后,生下一对小兔民数共有两对
三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对
------
依次类推可以列出下表:
经过月数
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
|
幼仔对数
| 1
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
|
成兔对数
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
|
总体对数
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
|
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。
七、数字谜题
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系:
现有长为144cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少?
分析:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线段就是2(为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和),依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10。
我们看到,“每段的长度不小于1这个条件起了控制全局的作用,正是这个最小数1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了。这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中,144>143,这个143是斐波那契数列的前n项和,我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去,如果加到其他数上,就有3条线段可以构成三角形了。
作者: liwya 时间: 2012-5-20 17:08
好帖子,要顶! {:4_107:}
作者: 榕叶 时间: 2012-5-21 08:38
不错,支持下
作者: Yuki1230 时间: 2012-6-3 11:34
哇,好神奇!
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