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标题: 圆锥曲线的由来与定义 [打印本页]

作者: 镇远将军 时间: 2012-4-1 10:19
标题: 圆锥曲线的由来与定义
本帖最后由镇远将军于 2012-4-1 10:32 编辑

一、圆锥曲线的由来
　　两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆;把平面渐渐倾斜，得到椭圆;当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

二、定义
几何观点　　用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。

　　通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
　　1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
　　2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
　　3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
　　4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
　　5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
　　6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线)。
　　7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。代数观点　　在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图象是圆锥曲线。根据判别式的不同，
也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。

焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但其使用广泛，并能引导出圆锥曲线中许多重要的几何概念和性质）
　　给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与到L的距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下：
　　1) e=0，轨迹退化为圆。
　　2) 0<e<1，轨迹为椭圆。
　　3) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。
　　4) 1<e<∞，轨迹为双曲线。注意:虽然只有一个点和一条线，但可以得到双曲线两个分支。
　　5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。

作者: julien 时间: 2012-4-1 10:28
老师，有没有经典例题啊

作者: 外星来客 时间: 2012-4-1 10:30
学习了！
老师多出点儿题我们做撒！

作者: 小拥 时间: 2012-4-1 10:31
老师，这个图好正~~~

作者: 暗暗 时间: 2012-4-1 10:32
这图画的太有技术含量……超赞

作者: 奶瓶仔 时间: 2012-4-1 10:34
这个有点意思啊