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标题: 华杯赛历届真题集:第九届华杯赛总决赛一试试题及解答 [打印本页]

作者: 毛毛的夏天    时间: 2012-4-10 16:26
标题: 华杯赛历届真题集:第九届华杯赛总决赛一试试题及解答
第九届华杯赛总决赛一试试题及解答


    1. 计算: 2.00
×2.
0
(结果用最简分数表示)
  2.水池装有一个水管和若干每小时注水量相同的注水管,注水管注水时,排水管同时排水.若用12个注水管注水,8小时可注满水池;若用9个注水管注水,24小时可注满水池.现在用8个注水管注水,那么需要多少小时注满水池?

  3.在操场上做游戏,上午8:00从A地出发,匀速地行走,每走5分钟就折转90o。问:
  (1)上午9:20能否恰好回到原处?
  (2)上午9:10能否恰好回到原处?
  如果能,请说明理由,并设计一条路线.如果不能,请说明理由。
  4. 1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少?
  5. 老王和老张各有5角和8角的邮票若干张,没有其它面值的邮票,但是他们邮票的总张数一样多.老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同,老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额.用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余,但不够支付160元的邮资.问他们各有8角邮票多少张?
  6. 在下面一列数中,从第二个数开始,每个数都比它前面相邻的数大7,8,15,22,29,36,43,……。
  它们前n-1个数相乘的积的末尾0的个数比前n个数相乘的积的末尾0的个数少3个,求n的最小值.

参考答案及解析:
 1.答:2.00 ×2.  0

  原式=

  2.解:设单开水管需x小时将满池水排完,单开一个注水管需要y小时,则可知排水管每小时排整池水的 ,
  注水管每小时注水 ,可知有
  即为 ……………………………①
  同时由2小时用9个注水管注满水知
  即为 ……………………………②
  将①-②得 可知
  代入①中得
  所以用8个注水管注水每小时注水
  故需用时 (小时)
  答:用8个注水管注水,需要72小时注满水池.
  3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我们可以设计如下的路线:我们若没定每走5分钟都按顺时针方向(或逆时针方向)折转90°,则可知每过20分钟回到原处,而到9:20恰好过了80分钟,故可知9:20恰好第4次回原处.
  (2)上午9:10不能回到原地.因为到上午9:10共走了70分钟,而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90°,还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地.
  4.解:我们可以先去考虑到100的所有自然数中与100不可质的数,因为100=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的数都与100不互质.其中含因子2的有2,4,6,8…,100(即为50个数),含因子5的有5,10,15,20…,100但其中10,20,30,…100已经包括在上面内,故与100不互质的1到100之内的数为:2,4,6,…100,5,15,25,…95。
  这些数的和为:2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=
  而1到100的自然而然数和为:
  所以与100互质的自然数之和为:5050-3050=2000。
  答:1到100所有自然数中与100互质各数之和为2000.
  5.解:设老王有8角邮票x张,老张有8角邮票y张,可知老王的5角邮票也有x张,故该总张数为2x张,则老张的5角邮票为 张.
  由老张5角邮票金额等于8角邮票金额知
  即为 ……………………………①
  又由他们可共同支付110元到160元之间的邮资知
  ……………………………②
  将①代入②中得
  同时又由 为整数知x为13的整数
  结合上述两个条件知 ,又由①知
  答:老王共有52张8角邮票,老张有40张8角邮票。
  6.解:观察这列数可知每个数除以7余数为1,由题意知若使n最小,则第n个数必须含有3个5的因子,这样由5的因子数少于2因子数知前n个相乘方会比前n-1个多3个0。所以第n个数可写成 的形式,即为 (k为自然数)且125k除以7余数为1,这样最小的k值为6。即第n个数为 .此时再根据第n个数又可表示为 知可得
  答:n的最小值为107。



作者: 汇棋    时间: 2013-4-5 19:13
强烈支持楼主好帖
作者: cbcb7493    时间: 2015-1-29 16:16
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